Question

9．已知sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，cos（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{12}{13}$，-5π＜α＜-2π，-$\frac{11π}{6}$＜β＜$\frac{π}{6}$，求sin（$\frac{α}{6}$+$\frac{β}{2}$）的值．

Answer 1

分析 根据同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的余弦公式计算即可．

解答 解：∵-5π＜α＜-2π，
∴-$\frac{5π}{6}$＜$\frac{α}{6}$＜-$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$＜0
∴cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）＞0，
∴cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）=$\frac{4}{5}$
∵-$\frac{11π}{6}$＜β＜$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{12}$＜-$\frac{β}{2}$＜$\frac{11π}{12}$，
∴0＜$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$＜π，
∴sin（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）＞0
∴sin （$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{5}{13}$
∵（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）-（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{π}{4}$+（$\frac{α}{6}$+$\frac{β}{2}$），
∴$\frac{α}{6}$+$\frac{β}{2}$=[（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）-（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）]-$\frac{π}{4}$
∴sin[（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）-（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）]=sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）cos（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）-cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）sin（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）
=-$\frac{3}{5}$×（-$\frac{12}{13}$）-$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$=$\frac{16}{65}$
cos[（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）-（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）]=cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）cos（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）+sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）sin（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）
=（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{4}{5}$+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{5}{13}$=-$\frac{63}{65}$
∴sin（$\frac{α}{6}$+$\frac{β}{2}$）=sin{[（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）-（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）]-$\frac{π}{4}$}=$\frac{\sqrt{2}}{2}${[sin[（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）-（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）]-cos[（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）-（$\frac{π}{12}$-$\frac{β}{2}$）]}=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{16}{65}$+$\frac{63}{65}$）=$\frac{79\sqrt{2}}{130}$
即sin（$\frac{α}{6}$+$\frac{β}{2}$）=$\frac{79\sqrt{2}}{130}$．

点评 本题考查了同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的余弦公式，考查了学生的运算能力，属于中档题