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    【题目】已知抛物线过点

    （1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标与准线方程；

    （2）直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于，两点，其中为坐标原点.若为线段的中点，求证：直线恒过定点.

    【答案】（1）抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线方程为（2）证明见解析；

    【解析】

    (1) 点代入求得，即可的抛物线方程求得结果.

    (2) 由题意知直线斜率存在且不为零，设直线方程为，与抛物线方程联立，设，，根据已知由:， :，及过点作轴的垂线求得的坐标，根据为线段的中点，借助韦达定理化简即可证得结论.

    解：（1）由抛物线过点，

    得，所以抛物线的方程为，

    其焦点坐标为，准线方程为.

    （2）由题意知直线斜率存在且不为零，设直线方程为，直线与抛物线的交点为，.

    由得，

    由韦达定理，得，.

    由已知得直线的方程为，所以，

    由已知得直线方程为，所以.

    因为是线段的中点，所以①，

    将，，代入①式，并化简得，

    把，代入②式，化简得

    所以直线的方程为，故直线恒过定点.

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    编号

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    12

    16

    22

    24

    26

    （1）请根据上面的数据求关于的线性回归方程

    （2）我们用（1）问求出的线性回归方程的估计回归方程，由于随机误差，所以是的估计值，成为点（，）的残差．

    ①填写下面的残差表，并绘制残差图；

    编号

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    12

    16

    22

    24

    26

    ②若残差图所在带状区域宽度不超过4，我们则认为该模型拟合精度比较高，回归方程的预报精度较高，试根据①绘制的残差图分折该模型拟合精度是否比较高？

    附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

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    （2）求观察通道OQ长度的最小值.

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