Question

4．已知等比数列{a_n}的公比为q（q≠1），等差数列{b_n}的公差也为q，且a₁+2a₂=3a₃．
（Ι）求q的值；
（II）若数列{b_n}的首项为2，其前n项和为T_n，当n≥2时，试比较b_n与T_n的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列关于公比的方程，求解方程即可得到q值；
（Ⅱ）分别求出等比数列的通项公式及前n项和，分类作出比较得答案．

解答 解：（Ι）由已知可得a₁+2a₁q=3a₁q²．
∵{a_n}是等比数列，∴a₁≠0，
则3q²-2q-1=0．
解得：q=1或q=$-\frac{1}{3}$．
∵q≠1，
∴q=$-\frac{1}{3}$；
（II）由（Ι）知等差数列{b_n}的公差为$-\frac{1}{3}$，
∴${b}_{n}=2+（n-1）（-\frac{1}{3}）=\frac{7-n}{3}$，
${T}_{n}=2n+\frac{n}{2}（n-1）（-\frac{1}{3}）=\frac{13n-{n}^{2}}{6}$，
${T}_{n}-{b}_{n}=-\frac{（n-1）（n-14）}{6}$，
当n＞14时，${T}_{n＜{b}_{n}}$；
当n=14时，T_n=b_n；
当2≤n＜14时，T_n＞b_n．
综上，当2≤n＜14时，T_n＞b_n；
当n=14时，T_n=b_n；
当n＞14时，T_n＜b_n．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式及前n项和，训练了作差法两个函数值的大小，是中档题．