Question

1．已知函数f（x）=|x-2|+|3x+a|．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥5；
（2）若存在x₀满足f（x₀）+2|x₀-2|＜3，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a的值带入f（x），通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（2）根据绝对值的性质求出（f（x₀）+2|x₀-2|）_min＜3，即|a+6|＜3，求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|x-2|+|3x+1|，
①当x≥2时，不等式等价于x-2+3x+1≥5，解得$x≥\frac{3}{2}$，即x≥2；
②当$-\frac{1}{3}＜x＜2$时，不等式等价于2-x+3x+1≥5，解得x≥1，即1≤x＜2；
③当$x≤-\frac{1}{3}$时，不等式等价于2-x-3x-1≥5，解得x≤-1，即x≤-1．
综上所述，原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥1}．
（2）由f（x₀）+2|x₀-2|＜3，即3|x₀-2|+|3x₀+a|＜3，
得|3x₀-6|+|3x₀+a|＜3，
又|3x₀-6|+|3x₀+a|≥|（3x₀-6）-（3x₀+a）|=|6+a|，
∴（f（x₀）+2|x₀-2|）_min＜3，即|a+6|＜3，
解得-9＜a＜-3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及绝对值的性质，是一道中档题．