Question

13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a²-ab-2b²=0．
（1）若$B=\frac{π}{6}$，求C；
（2）若$C=\frac{2π}{3}$，c=14，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由已知结合正弦定理得：2sin²A-sinA-1=0，解得sinA的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值，利用三角形内角和定理可求C的值．
（2）由题意及余弦定理可知a²+b²+ab=196，由（1）a²-ab-2b²=0，可求a=2b，进而解得a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）由已知$B=\frac{π}{6}$，a²-ab-2b²=0，
结合正弦定理得：2sin²A-sinA-1=0，
于是sinA=1或$sinA=-\frac{1}{2}$（舍）．
因为0＜A＜π，
所以，$A=\frac{π}{2}$，$C=\frac{π}{3}$．
（2）由题意及余弦定理可知a²+b²+ab=196，
由（1）a²-ab-2b²=0，得（a+b）（a-2b）=0，即a=2b，
联立解得$b=2\sqrt{7}$，$a=4\sqrt{7}$．
所以，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=14\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．