Question

5．设x₀为函数f（x）=sinπx的零点，且满足$|{x_0}|+f（{x_0}+\frac{1}{2}）＜11$，则这样的零点有（　　）

• A． 18个
• B． 19个
• C． 20个
• D． 21个

Answer 1

分析 根据函数零点的定义，先求出x₀的值，进行求出f（x₀+$\frac{1}{2}$）的值，然后解不等式即可．

解答 解：∵x₀为函数f（x）=sinπx的零点，∴sinπx₀=0，即πx₀=kπ，k∈Z，则x₀=k，
若k是偶数，则f（x₀+$\frac{1}{2}$）=1，若k是奇数，则f（x₀+$\frac{1}{2}$）=-1，
当k是偶数时，则由|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜11得即|k|＜-1+11=10，
当k是奇数时，则由|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜11得|x₀|＜-f（x₀+$\frac{1}{2}$）+11，
即|k|＜1+11=12，则共21个，
故选：D，

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据三角函数的性质，求出函数的零点，利用分类讨论思想是解决本题的关键