Question

16．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$则$\frac{{{y^2}-4xy+3{x^2}}}{x^2}$的取值范围为[-1，0]．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，求出$\frac{y}{x}$的范围，然后利用二次函数的性质求解目标函数的范围即可．

解答 解：x，y满足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$则的可行域如图：
$\frac{y}{x}$表示可行域内的点与原点连线的斜率，由可行域可知$\frac{y}{x}$∈[1，3]，
则$\frac{{{y^2}-4xy+3{x^2}}}{x^2}$=$（\frac{y}{x}{-2）}^{2}-1$∈[-1，0]．
故答案为：[-1，0]

点评 本题考查线性规划的简单应用，注意目标函数的表达式的几何意义，二次函数的性质的应用，考查计算能力．