Question

8．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为单位向量，则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|+|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$的最大值为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． 3
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据单位向量的定义与性质，利用模长公式，求出$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最大值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为单位向量，则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，不妨设$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ）$\overrightarrow{b}$=（1，0）；
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（cosθ+1）}^{2}{+sin}^{2}θ}$=$\sqrt{2+2cosθ}$=2|cos$\frac{θ}{2}$|，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（cosθ-1）}^{2}{+sin}^{2}θ}$=$\sqrt{2-2cosθ}$=2|sin$\frac{θ}{2}$|，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2（|cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$|）；
当cos$\frac{θ}{2}$≥0，sin$\frac{θ}{2}$≥0时，
|cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$|=cos$\frac{θ}{2}$+sin$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
当cos$\frac{θ}{2}$≤0，sin$\frac{θ}{2}$≥0时，
|cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$|=-cos$\frac{θ}{2}$+sin$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{θ}{2}$-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
当cos$\frac{θ}{2}$≥0，sin$\frac{θ}{2}$≤0时，
|cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$|=cos$\frac{θ}{2}$-sin$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{2}$coss（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
当cos$\frac{θ}{2}$≤0，sin$\frac{θ}{2}$≤0时，
|cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$|=-cos$\frac{θ}{2}$-sin$\frac{θ}{2}$=-$\sqrt{2}$sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤2$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．