Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+1（x≤0）}\\{|lo{g}_{2}x|（x＞0）}\end{array}\right.$，若方程f（x）=k有四个不同的实数根，x₁、x₂、x₃、x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$]
• D． [$\frac{9}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意，当1＜k＜2时，方程有四个不同的解，且x₁+x₂=-2，x₃x₄=1且2≤x₄＜4，从而结合基本不等式及函数的单调性求解．

解答 解：由题意，当1＜k＜2时，方程有四个不同的解，
且x₁+x₂=-2，x₃x₄=1且2≤x₄＜4；
故2+$\frac{1}{2}$≤x₃+x₄＜4+$\frac{1}{4}$，
故$\frac{1}{2}$≤x₁+x₂+x₃+x₄＜$\frac{9}{4}$，
即x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$），
故选B．

点评 本题考查了函数与方程、不等式的关系，同时考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．