Question

14．函数y=$\frac{1}{2+sinx+cosx}$的最大值是1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，则函数y=$\frac{1}{2+t}$ 关于t在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上是减函数，从而求得函数y的最大值．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，则函数y=$\frac{1}{2+sinx+cosx}$=$\frac{1}{2+t}$ 关于t在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上是减函数，
故当t=-$\sqrt{2}$时，函数y取得最大值为$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域，利用单调性求函数的最值，属于中档题．