Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=\frac{{{a_1}（{{4^n}-1}）}}{3}$，若a₃=8，则a₁=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由a₃=S₃-S₂，且a₃=8，能求出a₁的值．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=\frac{{{a_1}（{{4^n}-1}）}}{3}$，
∴a₁=S₁=$\frac{{a}_{1}（4-1）}{3}={a}_{1}$，
a₂=S₂-S₁=$\frac{{a}_{1}（{4}^{2}-1）}{3}$-a₁=4a₁，
a₃=S₃-S₂=$\frac{{a}_{1}（{4}^{3}-1）}{3}-\frac{{a}_{1}（{4}^{2}-1）}{3}$=16a₁，
∵a₃=8，∴a₁=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的合理运用．