Question

6．已知函数f（x）=（x²-ax-a）e^x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a∈（0，2），对于任意x₁，x₂∈[-4，0]，都有$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜4{e^{-2}}+m{e^a}$恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值，问题转化为m＞$\frac{a}{{e}^{a}}$（e^-2+1）恒成立，令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x∈（0，2），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x+2）（x-a）e^x，
 ①若a＜-2，则f（x）在（-∞，a），（-2，+∞）上单调递增，在（a，-2）单调递减；
 ②若a=-2，则f（x）在R上单调递增；
 ③若a＞-2，则f（x）在（-∞，-2），（a，+∞）上单调递增，在（-2，a）单调递减；
（2）由（1）知，当a∈（0，2）时，f（x）在（-4，-2）上单调递增，在（-2，0）单调递减，
所以f（x）_max=f（-2）=（a+4）e^-2，f（-4）=（3a+16）e^-4＞-a=f（0），
故|f（x₁）-f（x₂）|_max=|f（-2）-f（0）|=a（e^-2+1）+4e^-2，
|f（x₁）-f（x₂）|＜4e^-2+me^a恒成立，即a（e^-2+1）+4e^-2＜4e^-2+me^a恒成立，
即m＞$\frac{a}{{e}^{a}}$（e^-2+1）恒成立，
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x∈（0，2），易知g（x）在其定义域上有最大值g（1）=$\frac{1}{e}$，
所以m＞$\frac{1{+e}^{2}}{{e}^{3}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．