Question

15．已知直线y=x-1与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$交于A、B两点，则线段AB的长为$\frac{24}{7}$．

Answer 1

分析 联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得7x²-8x-8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出线段AB的长．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得7x²-8x-8=0，
△=64+4×7×8=288＞0，
设A（x₁，y），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8}{7}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{8}{7}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{1}^{2}）[\frac{64}{49}-4×（-\frac{8}{7}）]^{\;}}$=$\frac{24}{7}$．
故答案为：$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．