Question

7．椭圆mx²+ny²=1与直线y=1-4x交于M、N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则$\frac{m}{n}$的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN中点P（x₀，y₀），利用点差法能求出$\frac{m}{n}$的值．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN中点P（x₀，y₀）．
由$\left\{\begin{array}{l}{m{{x}_{1}}^{2}+n{{y}_{1}}^{2}=1}\\{m{{x}_{2}}^{2}+n{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，两式相减得m（${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$）+n（${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}$）=0．
又x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
∵直线y=1-4x，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-4，
∴mx₀-4ny₀=0，
∵kOP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}}$=2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查实数值比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．