Question

12．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点F是其右焦点，点A是其左顶点，且|AF|=3．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点F作不与x轴重合的直线交椭圆E于两点B、C，直线AB、AC分别交直线l：x=4于点M、N．试问：在x轴上是否存在定点Q，使得$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b，c的值，则椭圆E的方程可求；
（Ⅱ）设出BC所在直线方程x=ty+1，与椭圆方程联立，把AB，AC的方程用含有A，B的坐标表示，再由$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$求解．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a+c=3}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为x=ty+1．
将其代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，整理得（4+3t²）y²+6ty-9=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-$\frac{6t}{4+3{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{t}^{2}}$．
直线AB的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），从而可得M（4，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），
同理可得N（4，$\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$）．
假设x轴上存在定点Q（q，0）使得$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$．
∴$（q-4）^{2}+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=0．
将x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1代入上式，整理得（q-4）²-9=0，
解得q=1，或q=7．
∴x轴上存在定点Q（1，0）或Q（7，0），使得$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$成立．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线和圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量数量积在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．