Question

3．对某一批产品进行抽样检查，采取一件一件地抽查．若抽查4件未发现不合格产品，则停止检查并认为该批产品合格．若在查到第四件或在此之前发现不合格产品也停止检查，并认为该批产品不合格．假定合格概率为0.9；
（1）求该随机变量X的分布列和数学期望；
（2）通过抽样检查，认为该批产品不合格的概率．

Answer 1

分析 （1）由题设知X=1，2，3，4，可得：P（X=1）=1-0.9=$\frac{1}{10}$，P（X=2）=$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{10}$，P（X=3）=$\frac{9}{10}$×$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{10}$，P（X=4）=1-P（X=1）-P（X=2）-P（X=3）．进而得到随机变量 X的分布列及其数学期望．
（2）认为该批量产品合格的概率是$（\frac{9}{10}）^{4}$，利用相互对立事件的概率计算公式可得：从而该批量产品不合格的概率是P=1-$（\frac{9}{10}）^{4}$．

解答 解：（1）由题设知X=1，2，3，4，
P（X=1）=1-0.9=$\frac{1}{10}$，P（X=2）=$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{100}$，P（X=3）=$\frac{9}{10}$×$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{10}$=$\frac{81}{1000}$，P（X=4）=1-P（X=1）-P（X=2）-P（X=3）=$\frac{729}{1000}$．
∴随机变量 X的分布列

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{81}{1000}$	$\frac{729}{1000}$

数学期望E（X）=$1×\frac{1}{10}$+2×$\frac{9}{100}$+3×$\frac{81}{1000}$+4×$\frac{729}{1000}$=3.439．
（2）认为该批量产品合格的概率是$（\frac{9}{10}）^{4}$，
从而该批量产品不合格的概率是P=1-$（\frac{9}{10}）^{4}$=0.3439．
∴认为该批量产品不合格的概率是0.3439．

点评 本题考查了相互独立与相互对立事件的概率计算公式、离散型随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．