Question

8．设a为实数，函数f（x）=e^x-x+a，x∈R．
（1）求f（x）在区间[-1，2]上的最值；
（2）求证：当a＞-1，且x＞0时，${e^x}＞\frac{1}{2}{x^2}-ax+1$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（2））令$g（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}+ax-1，g'（x）={e^x}-x+a$，根据函数的单调性求出g（x）＞g（0），证出结论即可．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-1，令f'（x）=0，则x=0，
x∈（-1，0），f'（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（0.2），f'（x）＞0，f（x）为增函数，
所以，f（x）_min=f（0）=1+a；
又因为$f（-1）={e^{-1}}+1+a，f（2）={e^2}-2+a，f（-1）-f（2）=\frac{1}{e}-3-{e^2}＜0$，
所以$f{（x）_{max}}=f（2）={e^2}-2+a$．
（2）证明：令$g（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}+ax-1，g'（x）={e^x}-x+a$，
由（1）知，g'（x）≥g'（0）=1+a＞0，
所以g（x）在（0，+∞）单调递增，
所以g（x）＞g（0）=0，
所以，当a＞-1，且x＞0时，${e^x}＞\frac{1}{2}{x^2}-ax+1$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．