Question

12．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≤2\\ y＜1\\ x+2y-2≥0\end{array}\right.$，则$z=\frac{x+y+2}{x+1}$的取值范围是为[$\frac{4}{3}$，3）．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≤2\\ y＜1\\ x+2y-2≥0\end{array}\right.$对应的平面区域如图：
∵$z=\frac{x+y+2}{x+1}$=1+$\frac{y+1}{x+1}$，设k=$\frac{y+1}{x+1}$，则k的几何意义为区域内的点到定点D（-1，-1）的斜率，
由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，如果A在可行域则k的最大为：$\frac{1+1}{0+1}$=2，最小为：$\frac{1+0}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}≤$k＜2，
则$\frac{4}{3}$≤k+1＜3，
故$z=\frac{x+y+2}{x+1}$的取值范围是[$\frac{4}{3}$，3），
故答案为：[$\frac{4}{3}$，3）．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及斜率的计算，通过数形结合是解决本题的关键．