Question

已知区域

y≥0 x- 3 y+2≥0 3 x+y-2 3 ≤0

的外接圆C与x轴交于点A₁、A₂，椭圆C₁以线段A₁A₂为长轴，离心率e=

2

2

．
（1）求圆C及椭圆C₁的方程；
（2）设圆C与y轴正半轴交于点D，O点为坐标原点，D，O中点为E，问是否存在直线l与椭圆C₁交于M，N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出直线l与A₁A₂夹角θ的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用条件知道区域是直角三角形求出其外接圆C的方程，以及2a的值，再利用离心率即可求出椭圆C₁的方程；
（2）把直线方程与椭圆C₁的方程联立，求出M，N两点以及M，N中点与直线系数之间的关系，再把|ME|=|NE|转化为E在MN的中垂线上即可找到直线系数之间的等式，再代入前面求得的结论即可求出直线l与A₁A₂夹角θ的正切值的取值范围．

解答：解：（1）由题意可知，区域是以A₁（-2，0），A₂（2，0）及点M(1，

3

)为顶点的三角形，
∵A₁M⊥A₂M，∴△A₁A₂M为直角三角形．（2分）
∴外接圆C以原点O为圆心，线段A₁A₂为直径，故其方程为x²+y²=4．
∵2a=4，∴a=2．
又e=

2

2

，∴c=

2

，可得b=

2

．
∴所求椭圆C₁的方程是

x2

4

+

y2

2

=1．（6分）
（2）点D坐标为（0，2），故点E坐标为（0，1），显然θ=0可满足要求；θ=

π

2

时不满足题意．（8分）
当θ≠0，

π

2

时，设l的方程为y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0，得4k²+2＞m²；（10分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为F（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=-

2km

1+2k2

，y0=kx0+m=

m

1+2k2

．
∵|ME|=|NE|，∴MN⊥EF，∴

y0-1

x0

=-

1

k

，
即

m 1+2k2 -1

- 2km 1+2k2

=-

1

k

，
解得m=-1-2k²．（12分）
∴4k²+2＞（-1-2k²）²，得-

2

2

＜k＜

2

2

(k≠0)．
综上，直线l与A₁A₂夹角θ的正切值的取值范围是(-

2

2

，

2

2

)．（14分）

点评：圆锥曲线的综合大题，主要考查解析几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力．值得引起重视的一个现象是，经常出现一条或几条直线与两种圆锥曲线（包括圆）的位置关系问题，同时要注意其与平面几何、平面向量以及导数的知识的综合命题．