Question

【题目】在平面直角坐标系中，过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的任意直线与曲线交于点，为的中点，过点作轴的平行线交曲线于点，关于点的对称点为，除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）没有其他公共点，证明见解析

【解析】

（1）如图所示：作轴于，直线于，轴于，计算得到，根据抛物线定义得到答案.

（2）在抛物线上，设，得到直线：，联立方程得到答案.

（1）如图所示：作轴于，直线于，轴于，

设圆半径为，在梯形中，为中位线，故，故.

故，，即，根据抛物线定义知：.

（2）没有其他公共点.在抛物线上，设，故.

故当时，，故，

故，即.

，（），直线：.

，故，故方程有唯一解，故没有其他公共点.

当时验证知，为轴，也没有其他公共点.

综上所述：没有其他公共点.