Question

【题目】已知函数（）.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在定义域内为单调函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）对函数求导，解得函数在点处切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程；

（2）构造函数，利用导数求解其值域，再根据与之间的关系，求解恒成立问题即可得参数的范围.

（1）当时，，故；

故可得，

故切线方程为：，整理得.

故曲线在点处的切线方程为.

（2）因为，故可得.

若在定义域内为单调函数，则恒成立，或恒成立.

构造函数，故可得，

令，解得，

故在区间上单调递增，在区间上单调递减.

故，且当趋近于0时，趋近于.

故.

若要保证在定义域内恒成立，即恒成立，

即在定义域内恒成立，则只需；

若要保证在定义域内恒成立，则恒成立，

则在定义域内恒成立，但没有最小值，故舍去.

综上所述，要保证在定义域内为单调函数，

则.