Question

【题目】设动圆经过点，且与圆为圆心）相内切．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；

（Ⅱ）设经过的直线与轨迹交于、两点，且满足的点也在轨迹上，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）因为圆的圆心，半径为，由圆与圆相内切，利用椭圆的定义可知,动圆圆心的轨迹是以，为焦点且长轴长为的椭圆即可求解；

（Ⅱ）设直线的方程为，一定存在），代入，并整理得，利用韦达定理、向量的坐标运算,结合已知条件即可求解.

（Ⅰ）由已知可得,圆的圆心，半径为，

由圆与圆相内切，得，

由椭圆定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点

且长轴长为的椭圆，其方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为，一定存在），

代入，并整理得，

所以判别式△恒成立，

设，，，，

由韦达定理可得,,,

设，,则

由，得，

即，即，

又点在轨迹上，故，

即，解得，（舍负），

因为,所以四边形为平行四边形,

所以平行四边形的面积为

,

即,因为，

所以四边形的面积为．