【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,函数
在区间
上的最小值为-5,求
的值;
(Ⅱ)设,且
有两个极值点
,
.
(i)求实数的取值范围;
(ii)证明:.
【答案】(Ⅰ)8;(Ⅱ)(i);(ii)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)对求导,
可得
,
单调递增,得到
最小值,从而得到
的值.
(Ⅱ)(i)有两个极值点
,
,通过参变分离转化为
有两个不相等的实数根,再转化成两个函数交点问题,从而得到
的取值范围.
(ii)根据题意得到,
,两式相加、减消去
,设
构造出关于
的函数,利用导数得到单调性,进行证明.
解:(Ⅰ),
∵,
,∴
,
所以在区间
上为单调递增.
所以,
又因为,
所以的值为8.
(Ⅱ)(i)∵
,
且的定义域为
,
∴.
由有两个极值点
,
,
等价于方程有两个不同实根
,
.
由得:
.
令,
则,由
.
当时,
,则
在
上单调递增;
当时,
,则
在
上单调递减.
所以,当时,
取得最大值
,
∵,∴当
时,
,当
时,
,
所以,解得
,所以实数
的取值范围为
.
(ii)证明:不妨设,
且①,
②,
①+②得: ③
②-①得: ④
③÷④得:,即
,
要证:,
只需证.
即证:.
令,
设,
.
∴在
上单调递增,
∴,即
,
∴.
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【题目】 山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布,方案要求以学校为单位进行体育测试,某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试,并对50分以上的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若90~100分数段的人数为2人.
(Ⅰ)请估计一下这组数据的平均数M;
(Ⅱ)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人,形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20,则称这两人为“帮扶组”,试求选出的两人为“帮扶组”的概率.
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【题目】为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人,并得到如图所示的频率分布直方图,在这100人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表所示:
(1)由频率分布直方图,估计这100人年龄的平均数;
(2)根据以上统计数据填写下面的22列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异?
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
不支持 | |||
支持 | |||
总计 |
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某工厂生产、
两种零件,其质量测试按指标划分,指标大于或等于
的为正品,小于
的为次品.现随机抽取这两种零件各100个进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 | |||||
| 8 | 12 | 40 | 30 | 10 |
| 9 | 16 | 40 | 28 | 7 |
(Ⅰ)试分别估计、
两种零件为正品的概率;
(Ⅱ)生产1个零件,若是正品则盈利50元,若是次品则亏损10元;生产1个零件
,若是正品则盈利60元,若是次品则亏损15元,在(Ⅰ)的条件下:
(i)设为生产1个零件
和一个零件
所得的总利润,求
的分布列和数学期望;
(ii)求生产5个零件所得利润不少于160元的概率.
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【题目】设是平面内共始点的三个非零向量,且两两不共线,
有下列命题:
(1)关于的方程
可能有两个不同的实数解;
(2)关于的方程
至少有一个实数解;
(3)关于的方程
最多有一个实数解;
(4)关于的方程
若有实数解,则三个向量的终点不可能共线;
上述命题正确的序号是__________
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线与
相交于
两点,且满足:①
与
(
为坐标原点)的斜率之和为2;②直线
与圆
相切,若存在,求出
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】随着智能手机的普及,使用手机上网成为了人们日常生活的一部分,很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价:(单位:元/月)和购买人数
(单位:万人)的关系如表:
(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合与
的关系?并指出是正相关还是负相关;
(2)①求出关于
的回归方程;
②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/ 月,请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20 万人.
参考数据:,
,
.
参考公式:相关系数,回归直线方程
,
其中,
.
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【题目】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产x(百辆),需另投入成本万元,且
.由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
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