Question

【题目】设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，

【解析】

（1）由，可得，故设椭圆方程为，可得点在椭圆上，即可求出参数的值，从而得到椭圆方程；

（2）当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，

可得．当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，，由圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与椭圆方程，消去，列出韦达定理，即可表示出，代入计算可得，即可得到，最后由三角形相似计算出的值即可；

解：（1）由椭圆的离心率为，，，

椭圆的方程可设为，

易求得，且圆在点处的切线方程为，点在椭圆上，，解得，椭圆的方程为．

（2）当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，

由（1）知，，，，．

当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，，

，即．

联立直线和椭圆的方程得:，

，，．

，

．综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，都有．

在中，由得，为定值．