Question

【题目】已知

（1）当时，求函数的极值；

（2）若有两个零点求证：

Answer 1

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）证明见解析

【解析】

（1）求出，进而求出的单调区间，即可求解；

（2）求出的单调区间，不妨设.要证，即证，在单调递减，即证，又，即证，构造函数，进而求出的单调性，即可证明结论；

或利用，将用表示，代入，等价转化为证明，设，即证，通过构造函数，求导方法，即可证明结论.

（1），，.

当时，当时.

在单调递减，在单调递增，

所以有极小值，无极大值.

（2）.

在单调递减，在单调递增.

依题意，，不妨设.

方法一：设，，在单调递增，

所以，，

所以，

又，，在单调递减，

所以.即得结论.

方法二：依题意，，

也即，可得，

要证，即证，

即证，

即证，

设，则即证.

构造函数，，

再设，则，

在单调递减，，即，

在单调递增，，.

即得结论.