Question

【题目】已知一动圆P与定圆外切，且与直线相切，记动点P的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）过点作直线l与曲线E交于不同的两点B、C，设BC中点为Q，问：曲线E上是否存在一点A，使得恒成立？如果存在，求出点A的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，/

【解析】

(1)根据条件可得点P到直线的距离等于到定点的距离.再由抛物线的定义可得抛物线的方程.
(2) 若抛物线上的点满足，则点在以为直径的圆上，即.再方程联立可解.

(1)设圆的圆心为,动圆P的半径为.

则由动圆P与定圆外切，则，

又动圆P与直线相切，所以点P到直线的距离为，

所以点P到直线的距离等于到定点的距离.

所以点P的轨迹是以为焦点的抛物线，其方程为：.

所以曲线E的方程为：。

（2）由题意B、C两点在抛物线上，设

设直线的方程为：.

由 有，

.

设满足条件的点存在，设.

若抛物线上的点满足，则点在以为直径的圆上.

即.

所以

，

由题意即是恒成立，可得.

所以

所以抛物线上存在点满足.