Question

8．如图，线段AB=16，点C在线段AB上，且AC=6，P为段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．则△CPD面积的最大值为（　　）

• A． 9
• B． 12
• C． 15
• D． 20

Answer 1

分析 本题要根据实际情况计算出面积函数的定义域，可以看出所给的条件是△CPD，故可根据其是三角形求出自变量的范围．面积表达式可以用海伦公式求出，对所得的函数运用基本不等式，可求出函数的最大值．

解答 解：由题意，DC=6，CP=x，DP=10-x，
由△CPD的三边的关系，可得$\left\{\begin{array}{l}{6+x＞10-x}\\{x+10-x＞6}\\{6+10-x＞x}\end{array}\right.$，解得x∈（2，8）
如图，三角形的周长是一个定值16，
故其面积可用海伦公式S_△CPD=$\sqrt{s（s-a）（s-b）（s-c）}$，
其中s=$\frac{1}{2}$（a+b+c），
即△CPD的面积为$\sqrt{8•（8-6）•（8-x）•（8-10+x）}$
=$\sqrt{16（8-x）（x-2）}$，
由（8-x）（x-2）≤（$\frac{8-x+x-2}{2}$）²=9，
当且仅当8-x=x-2，可得x=5，取得最大值．
即有△CPD的面积最大值为12．
故选为：B．

点评 本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求面积用到了海伦公式，学习中积累一些知识储备，视野开阔，易找出简单的解题方法．本题考查到了基本不等式的运用，有一定的综合性．