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    如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

    （1）证明：P-ABC为正四面体；

    （2）若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）

    （3）设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,

    使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

    证明：（1） ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,

       ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.   又∵截面DEF∥底面ABC,

       ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体.

    解：（2）取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.

       ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,

       则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.    由（1）知,P-ABC的各棱长均为1,

       ∴PM=AM=,由D是PA的中点,  得sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.

    （3）存在满足条件的直平行六面体.  棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.

      设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为α,

      则该六面体棱长和为6, 体积为sinα=V.

      ∵正四面体P-ABC的体积是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim（8V）

    故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为arcsim（8V）的直平行六面体即满足要求.

    练习册系列答案
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    （1）证明：P-ABC为正四面体；
    （2）若PD=PA=
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    求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
    （3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．

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    平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造

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    （本小题满分14分）

    如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

    （1）求证：P-ABC为正四面体；

    （2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。

    （3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源：2004年上海市高考数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
    （1）证明：P-ABC为正四面体；
    （2）若PD=PA=求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
    （3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．

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