Question

已知直线l过点P（0，2），斜率为k，圆Q：x²+y²-12x+32=0，若直线l和圆Q交于两个不同的点A，B，问是否存在常数k，使得

OA

+

OB

与

PQ

共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：设直线l的方程为y=kx+2，将l的方程和圆方程联解，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及

OA

+

OB

与

PQ

共线，建立关于k的等式解出k=-

3

4

．再由根的判别式大于零可得-

3

4

＜k＜0，因此不存在常数k，使得

OA

+

OB

与

PQ

共线．

解答：解：设直线l的方程为y=kx+2，
由

y=kx+2 x2+y2-12x+32=0

消y，可得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0，
∵直线l和圆相交，
∴△=[4（k-3）]²-4×36×（1+k²）＞0，解得-

3

4

＜k＜0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由根与系数的关系，可得x₁+x₂=-

4(k+3)

1+k2

，x₁x₂=

36

1+k2

．…①
∴y₁+y₂=kx₁+2+kx₂+2=k（x₁+x₂）+4，…②
∵

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

PQ

=（6，-2）．
若

OA

+

OB

与

PQ

共线，则-2×（x₁+x₂）=6×（y₁+y₂），即（1+3k）（x₁+x₂）+12=0，
代入①②，可得（1+3k）[-

4(k+3)

1+k2

]+12=0，解得k=-

3

4

．
又∵-

3

4

＜k＜0，
∴不存在常数k，使得

OA

+

OB

与

PQ

共线．

点评：本题给出经过定点的直线与圆的方程，探究使

OA

+

OB

与

PQ

共线的直线是否存在．着重考查了向量共线的条件、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．