Question

已知直线l过点P（0，2），斜率为k，圆Q：x²+y²-12x+32=0．
（1）若直线l和圆相切，求直线l的方程；
（2）若直线l和圆交于A、B两个不同的点，问是否存在常数k，使得+与共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定圆的圆心与半径，设出直线方程，利用直线l和圆相切，建立方程，即可求得结论；
（2）将直线l的方程和圆的方程联立，利用韦达定理，及+与共线，结合根的判别式，可得结论．
解答：解：（1）将圆的方程化简，得：（x-6）²+y²=4，圆心Q（6，0），半径r=2．
设直线l的方程为：y=kx+2，故圆心到直线l的距离d==．
因为直线l和圆相切，故d=r，即=2，解得k=0或k=-．
所以，直线l的方程为y=2或3x+4y-8=0．
（2）将直线l的方程和圆的方程联立，消y得：（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0，
因为直线l和圆相交，故△=[4（k-3）]²-4×36×（1+k²）＞0，解得-＜k＜0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有：x₁+x₂=；x₁x₂=
而y₁+y₂=kx₁+2+kx₂+2=k（x₁+x₂）+4，+=（x₁+x₂，y₁+y₂），=（6，-2）．
因为+与共线，所以-2×（x₁+x₂）=6×（y₁+y₂）．
即（1+3k）（x₁+x₂）+12=0，代入得（1+3k）[-]+12=0，解得k=-．
又因为-＜k＜0，所以没有符合条件的常数k．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．