Question

若n=

∫

π 2 0

8sinxdx，则（2-

x

）ⁿ展开式中不含x⁴项的其他各项系数的和为

 

．

Answer 1

考点：定积分,二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：由定积分求出n的值，代入（2-

x

）ⁿ，求出二项展开式的通项；由x得系数确定r值，可求x⁴项的系数；再给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和；进而得到不含x⁴项的其他各项系数的和．

解答： 解：∵n=

∫

π 2 0

8sinxdx=（-8cosx）

|

π 2 0

=-8cos

π

2

+8cos0=8，
（2-

x

）ⁿ=（2-

x

）⁸，
其展开式的通项为T_r+1=C₈^r2^8-r（-

x

）^r=（-1）^rC₈^r2^8-rx 

r

2

，
令

r

2

=4得r=8
∴二项展开式中x⁴的系数为（-1）⁸C₈⁸2^8-8=1，
令（2-

x

）⁸中的x=1，
得到（2-

x

）⁸的展开式中各项系数的和为1，
故（2-

x

）ⁿ展开式中不含x⁴项的其他各项系数的和为0，
故答案为：0．

点评：本题考查了定积分，考查了二项式系数的性质，是基础题．