【题目】如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .
【答案】4 cm3
【解析】解:由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG= BC,
即OG的长度与BC的长度成正比,
设OG=x,则BC=2 x,DG=5﹣x,
三棱锥的高h= =
=
,
=3
,
则V= =
=
,
令f(x)=25x4﹣10x5 , x∈(0, ),f′(x)=100x3﹣50x4 ,
令f′(x)≥0,即x4﹣2x3≤0,解得x≤2,
则f(x)≤f(2)=80,
∴V≤ =4
cm3 , ∴体积最大值为4
cm3 .
故答案为:4 cm3 .
由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG= BC,设OG=x,则BC=2
x,DG=5﹣x,三棱锥的高h=
,求出S△ABC=3
,V=
=
,令f(x)=25x4﹣10x5 , x∈(0,
),f′(x)=100x3﹣50x4 , f(x)≤f(2)=80,由此能求出体积最大值.
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【题目】如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,将△ABD沿BD折到△A′BD的位置,使平面A′BD⊥平面CBD.
(Ⅰ)求证:CD⊥A′B;
(Ⅱ)试在线段A′C上确定一点P,使得二面角P﹣BD﹣C的大小为45°.
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【题目】数列满足:
,且
,其前n项和
.
(1)求证:为等比数列;
(2)记为数列
的前n项和.
(i)当时,求
;
(ii)当时,是否存在正整数
,使得对于任意正整数
,都有
?如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数,
),以直角坐标系的原点为极点,以
轴的正半轴为极轴建立坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(1)求圆的直角坐标方程(化为标准方程)及曲线
的普通方程;
(2)若圆与曲线
的公共弦长为
,求
的值.
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【题目】在直角坐标系内,已知是以点
为圆心的圆上的一点,折叠该圆两次使点
分别与圆上不相同的两点(异于点
)重合,两次的折痕方程分别为
和
,若圆上存在点
,使得
,其中点
、
,则
的取值范围为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】对于无穷数列,给出下列命题:
①若数列既是等差数列,又是等比数列,则数列
是常数列.
②若等差数列满足
,则数列
是常数列.
③若等比数列满足
,则数列
是常数列.
④若各项为正数的等比数列满足
,则数列
是常数列.
其中正确的命题个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(Ⅰ)EF∥平面ABC;
(Ⅱ)AD⊥AC.
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【题目】设函数,
.
(1)在
处的切线方程;
(2)当时,函数
有两个极值点,求
的取值范围;
(3)若在点
处的切线与
轴平行,且函数
在
时,其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角,求
的取值范围.
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【题目】数列的前
项和为
,若数列
的各项按如下规律排列:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,…,
,
, …,
,…有如下运算和结论:①
;②数列
,
,
,
,…是等比数列;③数列
,
,
,
,…的前
项和为
;④若存在正整数
,使
,
,则
.其中正确的结论是_____.(将你认为正确的结论序号都填上)
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