Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且3bsinC-5csinBcosA=0
（1）求sinA；
（2）若tan(A-B)=-

2

11

，求tanC．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理得到bsinC=csinB，代入已知的等式中，提取bsinC，根据bsinC不为0，可得cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的平方关系即可求出sinA的值；
（2）由（1）求出的sinA和cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出tanA的值，根据B=A-（A-B），利用两角和与差的正切函数公式表示出tanB=tan[A-（A-B）]，把tanA和tan（A-B）的值代入求出tanB的值，再根据诱导公式及三角形的内角和定理得到tanC=-tan（A+B），利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值．

解答：解：（1）由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：bsinC=csinB．
又3bsinC-5csinBcosA=0，
∴bsinC（3-5cosA）=0，
∵bsinC≠0，∴3-5cosA=0，即cosA=

3

5

．
又A∈（0，π），
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

；…（4分）
（2）由（1）知cosA=

3

5

，sinA=

4

5

，
∴tanA=

4

3

．
因为tan(A-B)=-

2

11

，
所以tanB=tan[A-(A-B)]=

tanA-tan(A-B)

1+tanA•tan(A-B)

=

4 3 -(- 2 11 )

1+ 4 3 ×(- 2 11 )

=2，
所以tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

4 3 +2

1- 4 3 ×2

=2．…（8分）

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正切函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，同时注意角度的灵活变换．