(08年宣武区质量检一)(13分)
如图,三棱锥P-ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2,
AB=BC,D是PB上一点,且CD平面PAB
(1) 求证:AB平面PCB;
(2) 求异面直线AP与BC所成角的大小;
(3) 求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。
解析:解法一:(1) PC
平面ABC,AB
平面ABC,
PC
AB,
CD
平面PAB,AB
平面PAB,
CD
AB。又
,
AB
平面PCB ………………………………………4分
(2)过点A作AF//BC,且AF=BC,连结PF、FC,
则为异面直线PA与BC所成的角。
由(1)可得AB BC,
CF
AF,
有三垂线定理,得PF AF,则AF=CF=
,
PF=。
在Rt中,
,
异面直线PA与BC所成的角为
………………………………………… 8分
(3)取AP的中点E,连结CE、DE
PC=AC=2,
CE
PA,CE=
CD
平面PAB,由三垂线定理的逆定理,得DE
PA,
为二面角C-PA-B的平面角
由(1)AB 平面PCB ,又
AB=BC,可得BC=
在Rt中,PB=
,CD=
在Rt中,
二面角C-PA-B大小的余弦值为
……………………………………..13分
解法二:(1)同解法一 ………………………………………………………4分
(2)由(1)AB 平面PCB ,
PC=AC=2,
又AB=BC, 可求得BC=
以B为原点,如图建立空间直角坐标系,
则A(0,,0),B(0,0,0), C(
,0,0)
P(,0,2)
=(
,-
,2),
=(
,0,0)
则=
+0+0=2
异面直线AP与BC所成的角为
………………………………………………8分
(3)设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)
=(0,-
,0),
=(
,-
,0)
则,即,得m=(
,0,-1)
设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)
=(0,0,-2),
=(
,-
,0),则
,即
得n=(1,1,0)
Cos<m,n>=
二面角C-PA-B大小的余弦值为
……………………………………..13分
科目:高中数学 来源: 题型:
(08年宣武区质量检一文)(14分)
已知二次函数f(x)=同时满足:
①不等式f(x)
0的解集有且只有一个元素②在定义域内存在0
,使得不等式
成立。设数列{
}的前n项和
.
(1) 求函数f(x)的表达式;
(2) 求数列{}的通项公式;
设各项均不为零的数列{}中,所有满足
的整数i的个数称为这个数列{
}的变号数。令
(n为正整数),求数列{
}的变号数。
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科目:高中数学 来源: 题型:
(08年宣武区质量检一文)(14分)
已知圆O:和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,且满足
(1) 求实数a、b间满足的等量关系;
(2) 求线段PQ长的最小值;
(3) 若以P为圆心所做的圆P与圆Q有公共点,试求半径取最小值时,圆P的方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:
(08年宣武区质量检一)(13分)
已知函数
(1) 若在
上是减函数,求
的最大值;
(2) 若的单调递减区间是
,求函数y=
图像过点
的切线与两坐标轴围成图形的面积。
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科目:高中数学 来源: 题型:
(08年宣武区质量检一)(13分)
已知向量m =, 向量n = (2,0),且m与n所成角为
,
其中A、B、C是的内角。
(1) 求角B的大小;
(2) 求 的取值范围。
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