Question

9．若关于x的不等式x²+|x+a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（-$\frac{9}{4}$，2）．

Answer 1

分析 先将不等式写成：|x+a|＜2-x²，再构造两函数f（x）=|x+a|，g（x）=2-x²，最后运用函数的图象和性质解不等式．

解答 解：不等式可写成：|x+a|＜2-x²，（*）
根据题意，不等式（*）至少有一个正数解，
即至少存在一个正数x₀使得：|x₀+a|＜2-x₀²，
记f（x）=|x+a|，g（x）=2-x²，画出两函数的图象，
①当f（x）的顶点（-a，0）（a＜0）在x轴右侧时，
两函数图象在右侧相切是临界，如图（蓝线）：
此时，-（x+a）=2-x²，即x²-x-a-2=0，
由△=0，解得a=-$\frac{9}{4}$，
所以，要使不等式（*）至少有一个正数解，则a＞-$\frac{9}{4}$，
②当f（x）图象的顶点（-a，0）（a＞0）在x轴左侧时，
函数g（x）的图象过点（0，2）也是临界，如图（红线），
此时，a=2，要使原不等式有正数解，则a＜2，
综合以上讨论得，实数a的取值范围为：（-$\frac{9}{4}$，2），
故答案为：（-$\frac{9}{4}$，2）．

点评 本题主要考查了含绝对值不等式的解法，以及函数图象与性质的综合应用，体现了分类讨论和数形解的解题思想，属于中档题．