Question

20．如图，在矩形ABCD中，已知AD=1.5，AB=a（a＞1.5），E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD上的动点，且满足AE=AF=CG=CH．若AE=x，当x变化时．
（1）求四边形EFGH的面积S关于x的函数解析式，写出其定义域．
（2）当x取何值时，S有最大值，并求出其最大值．

Answer 1

分析 （1）设AE=x，四边形EFGH的面积为S，则S=1.5a-x²-（1.5-x）（a-x），x∈（0，1.5]．
（2）化简并配方，可得函数的对称轴，从而分类讨论区间和对称轴的关系，可求函数的最大值．

解答 解：设AE=x，四边形EFGH的面积为S，
则S=1.5a-x²-（1.5-x）（a-x）
=-2x²+（a+1.5）x
=-2（x-$\frac{a+1.5}{4}$）²+$\frac{（a+1.5）^{2}}{8}$，x∈（0，1.5]，
（1）若$\frac{a+1.5}{4}$≤1.5，即1.5＜a≤4.5，
则当x=$\frac{a+1.5}{4}$时，S取得最大值是S_max=$\frac{（a+1.5）^{2}}{8}$；
（2）若$\frac{a+1.5}{4}$＞1.5，即a＞4.5，
函数S=-2x²+（a+1.5）x在区间（0，1.5]上是增函数，
则当x=1.5时，S取得最大值是S_max=1.5a-2，25．
综上可得EFGH的面积的最大值为$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（a+1.5）^{2}}{8}，1.5＜a≤4.5}\\{1.5a-2.25，a＞4.5}\end{array}\right.$．

点评 本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查二次函数在闭区间上的最值讨论，解题的关键是针对函数的定义域，结合函数的对称轴分类讨论．