Question

5．已知关于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集是{x|x≠-$\frac{1}{a}$，x∈R}，且a＞b，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$的最小值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知得ab=1，从而$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$=$\frac{（a-b）^{2}+2}{a-b}$=（a-b）+$\frac{2}{a-b}$，由此利用基本不等式能求出$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$的最小值．

解答 解：∵关于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集是{x|x≠-$\frac{1}{a}$，x∈R}，且a＞b，
∴a＞0，且对应方程有两个相等的实根为-$\frac{1}{a}$
由根与系数的故关系可得-$\frac{1}{a}$•（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{b}{a}$，即ab=1
故$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$=$\frac{（a-b）^{2}+2}{a-b}$=（a-b）+$\frac{2}{a-b}$，
∵a＞b，∴a-b＞0，
由基本不等式可得（a-b）+$\frac{2}{a-b}$≥2$\sqrt{（a-b）•\frac{2}{a-b}}$≥2$\sqrt{2}$，
当且仅当a-b=$\sqrt{2}$时取等号．
故$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a-b}$的最小值为：2$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．