Question

14．某公司通过初试和复试两轮考核确定最终合格人员，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.4、0.6、0.5，第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5、0.5、0.4．
（1）求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；
（2）设甲、乙、丙经过前后两轮考核后合格人选的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A₁、B₁；设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，由P（E）=P（$\overline{{A}_{1}}$B₁），能求出第一次选拔后甲、乙两人中只有乙合格的概率．
（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A、B、C，由此能够分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率．经过前后两次选拔后合格入选的人数为X，则X=0、1、2、3．分别求出P（ξ=0），P（X=1），P（X=2）和PX=2），由此能求出X的概率分布列和Eξ

解答 解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A₁、B₁，
设E表示第一次选拔后乙合格、甲不合格，
则P（E）=P（$\overline{{A}_{1}}$B₁）=0.6×0.6=0.36．
（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A、B、C，
则P（A）=0.4×0.5=0.2，P（B）=0.6×0.5=0.3，P（C）=0.5×0.4=0.2．
经过前后两次选拔后合格入选的人数为X，则X=0、1、2、3．
则P（X=0）=（1-0.2）×（1-0.3）×（1-0.2）=0.448，
P（X=1）=0.2×（1-0.3）（1-0.2）+（1-0.2）×0.3×（1-0.2）+（1-0.2）（1-0.3）×0.2=0.416，
P（X=2）=0.2×0.3×（1-0.2）+0.2×（1-0.3）×0.2+（1-0.2）×0.3×0.2=0.124
P（X=3）=0.2×0.3×0.2=0.012．
∴X的概率分布列为

X	0	1	2	3
P	0.448	0.416	0.124	0.012

∴EX=0×0.448+1×0.416+2×0.124+3×0.012=0.7．

点评 本题考查概率的计算和离散型随机变量的概率分布列、数学期望的求法，是高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．