Question

2．已知A、B、C、D是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A（-$\frac{π}{6}$，0），B为y轴的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，$\overrightarrow{CD}$在x轴方向上的投影为$\frac{π}{12}$．
（1）求函数f（x）的解析式及单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$得到函数g（x）的图象，已知g（α）=$\frac{1}{3}$，α∈（-$\frac{π}{4}$，0），求g（α+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数想性质得出最大值点的横坐标为$\frac{π}{12}$，A（-$\frac{π}{6}$，0），得出周期T=π，T=$\frac{2π}{ω}$，即可ω，运用A（-$\frac{π}{6}$，0），sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，得出φ=$\frac{π}{3}$kπ+$\frac{π}{3}$，k∈z，即可求解函数解析式，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得单调递减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x），结合角的范围可求cos2α，sin2α，利用两角和的余弦函数公式即可求值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵如图所示，A（-$\frac{π}{6}$，0），B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，$\overrightarrow{CD}$在x轴上的投影为$\frac{π}{12}$，
∴根据对称性得出：最大值点的横坐标为$\frac{π}{12}$，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{12}$，T=π，
∵T=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2，
∵A（-$\frac{π}{6}$，0）在函数图象上，
∴sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，解得：-$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈z，可得：φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈z，
∴φ=$\frac{π}{3}$，故可得函数f（x）的解析式为：y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得单调递减区间为：[kπ$+\frac{π}{12}$，k$π+\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵由题意可得：g（x）=f（x+$\frac{π}{12}$）=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x．
∴g（α）=cos2α=$\frac{1}{3}$，
∵α∈（-$\frac{π}{4}$，0），
∴2α∈（-$\frac{π}{2}$，0），可得sin2α=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴g（α+$\frac{π}{6}$）=cos（2α+$\frac{π}{3}$）=cos2αcos$\frac{π}{3}$-sin2αsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$-（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了三角函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，运用特殊点求解参变量的值，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．