Question

10．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=6，若存在非零实数x，y，使得$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且x+y=1，若$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{DB}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$的值为（　　）

• A． 6
• B． 12
• C． 24
• D． 36

Answer 1

分析 运用三点共线的条件可得，O，B，C共线，点O是△ABC的外接圆圆心，即有OA=OB=OC，则AB⊥AC，即有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，再由向量共线定理可得向量AD，再由向量的数量积的性质计算即可得到所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且x+y=1，
可得O，B，C共线，
点O是△ABC的外接圆圆心，即有OA=OB=OC，
则AB⊥AC，即有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
又$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{DB}$，即$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$=2（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$），
可得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}}{3}$，
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AB}$²）
=$\frac{1}{3}$×（0+2×36）=24．
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积的求法，考查三点共线共线的条件，考查三角形外接圆的性质，考查运算能力，属于中档题．