Question

15．已知函数f（x），若在定义域内存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则称x₀为函数f（x）的局部对称点．
（1）若a，b，c∈R，证明函数f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部对称点；
（2）是否存在常数m，使得函数f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据定义构造方程，再判断方程是否有解，问题得以解决．
（2）根据定义构造方程4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2^x+2^-x，方程变形为t²-2mt+2m²-8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可

解答 解：（1）证明：由f（x）=ax³+bx²+cx-b得f（-x）=-ax³+bx²-cx-b，
代入f（-x）=-f（x） 得ax³+bx²+cx-b-ax³+bx²-cx-b=0得到关于x的方程2bx²-2b=0，b≠0时，x=±1
当b=0，x∈R等式恒成立，
所以函数f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部对称点；
（2）∵f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3
∴f（-x）=4^-x-m•2^-x+1+m²-3，
由f（-x）=-f（x），∴4^-x-m•2^-x+1+m²-3=-（4^x-m•2^x+1+m²-3），
于是 4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0…（*）在R上有解，
令t=2^x+2^-x（t≥2），则4^x+4^-x=t²-2，
∴方程（*）变为t²-2mt+2m²-8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：
$\left\{\begin{array}{l}△=4{m}^{2}-8（{m}^{2}-4）≥0\\ \frac{2m+\sqrt{4（8-{m}^{2}）}}{2}≥2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}\\ 1-\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}\end{array}\right.$，
化简得$1-\sqrt{3}$≤m≤2$\sqrt{2}$．

点评 本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题．