Question

7．已知直线x-y+2=0和圆C：x²+y²-8x+12=0，过直线上的一点P（x₀，y₀）作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点．①当P点坐标为（2，4）时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程；
②设切线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁•k₂=-7时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 ①确定P，A，B，C四点共圆E，直线AB的方程是两圆公共弦所在直线方程；
②利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：①圆C：x²+y²-8x+12=0，可化为（x-4）²+y²=4，PC中点为（3，2），|PC|=2$\sqrt{5}$，
∴以PC为直径的圆的方程为圆E：（x-3）²+（y-2）²=5，
∵PA⊥AC，PB⊥BC，
∴P，A，B，C四点共圆E，
∴直线AB的方程是两圆公共弦所在直线方程，两方程相减可得直线AB的方程为x-2y-2=0；
②设过P的直线l方程为y-y₀=k（x-x₀），由于⊙C与直线l相切，得到d=$\frac{|4k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
整理得到：k²[（4-x₀）²-4]+2y₀（4-x₀）k+y₀²=4k²+4，
∴k₁•k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{（4-{x}_{0}）^{2}-4}$=-7
y₀=x₀+2，代入，可得2x₀²-13x₀+21=0，∴x₀=3或$\frac{7}{2}$，
∴点P坐标（3，5）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）．

点评 熟练掌握两圆的根轴的性质、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式是解题的关键．