Question

16．定义在非零实数集上的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在区间（0，+∞）上为递增函数．
（1）求f（1）、f（-1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）解不等式$f（2）+f（x-\frac{1}{2}）≤0$．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法即可求f（1）、f（-1）的值；
（2）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是偶函数；
（3）根据函数奇偶性，利用数形结合即可解不等式$f（2）+f（x-\frac{1}{2}）≤0$．

解答 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0…（2分）
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0…（4分）
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），…（6分）
∴f（-x）=f（x）…（7分）
∴f（x）是偶函数  …（8分）
（3）根据题意可知，函数y=f（x）的图象大致如右图：
∵$f（2）+f（x-\frac{1}{2}）=f（2x-1）≤0$，…（9分）
∴-1≤2x-1＜0或0＜2x-1≤1，…（11分）
∴$0≤x＜\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜x≤1$…（12分）

点评 本题主要考查抽象函数的应用以及函数奇偶性的判断，利用赋值法是解决本题的关键．