Question

3．由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数．
（1）共可以组成多少个五位数？
（2）其中奇数有多少个？
（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用全排列，可得结论；
（2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，第五位是有限制条件的元素，第五个数字必须从1、3、5中选出，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列；
（3）根据题意，先有排列数公式求出用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数的个数，再分4种情况讨论分析大于43125的数个数，由间接法分析可得答案．

解答 解：（1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A₅⁵=120个五位数
（2）∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，
∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C₃¹种结果，
其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A₄⁴种结果，
根据分步计数原理得到共有C₃¹A₄⁴=72；
（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A₅⁵=120种情况，即一共有120个五位数，
再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：
1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A₄⁴=24个，
2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A₃³=6个，
3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A₂²=2个，
4、43215，43251，43152，共3个
故不大于43251的五位数有120-（24+6+2-3）=85个，
即43125是第85项．

点评 本题考查排列组合，简单计数原理，解排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．