Question

12．已知曲线C：$\frac{{x}^{2}}{9-k}$+$\frac{{y}^{2}}{4-k}$=1（k∈R）．
（1）当曲线C为椭圆时，求k的取值范围；
（2）当曲线C为双曲线时，且一条渐近线的斜率为$\frac{1}{2}$时，求曲线C的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆方程满足条件，建立不等式，即可求k的取值范围；
（2）当曲线C为双曲线时，9-k＞0且4-k＜0，4＜k＜9，利用一条渐近线的斜率为$\frac{1}{2}$，求出k，即可求曲线C的方程．

解答 解：（1）当曲线C为椭圆时，$\left\{\begin{array}{l}{9-k＞0}\\{4-k＞0}\\{9-k≠4-k}\end{array}\right.$∴k＜4；
（2）当曲线C为双曲线时，9-k＞0且4-k＜0，∴4＜k＜9，
∵一条渐近线的斜率为$\frac{1}{2}$，∴$\frac{k-4}{9-k}=\frac{1}{4}$，∴k=5，曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1．

点评 本题考查椭圆、双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．