Question

3．已知函数$f（x）={log_a}\frac{1-x}{1+x}$（a＞0且a≠1）
（1）若$f（-\frac{1}{3}）=1$，集合A={x|f（x）=-2}，B={1}，写出集合A∪B的所有子集；
（2）若$f（-\frac{11}{13}）=m$，$f（-\frac{7}{11}）=n$，试用m，n来表示$f（-\frac{5}{7}）$．

Answer 1

分析 （1）分别根据题中条件求出集合A，集合B，再求出A∪B及其全体子集；
（2）根据条件，先求出，${log_a}3=\frac{m+2n}{5}$，${log_a}2=\frac{2m-n}{5}$，再用m，n表示示$f（-\frac{5}{7}）$．

解答 解：（1）由$f（-\frac{1}{3}）=1$得，log_a2=1，解得a=2，
再由${log_2}\frac{1-x}{1+x}=-2={log_2}\frac{1}{4}$得，$\frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{4}$，解得，$x=\frac{3}{5}$，
因此，$A=\left\{{\frac{3}{5}}\right\}$，$A∪B=\left\{{\frac{3}{5}，1}\right\}$，
∴A∪B的所有子集为：ϕ，$\left\{{\frac{3}{5}}\right\}，\left\{1\right\}$，$\left\{{\frac{3}{5}，1}\right\}$；
（2）由$f（-\frac{11}{13}）=m$得，log_a12=m，
即log_a3+2log_a2=m，-----------①
再由$f（-\frac{7}{11}）=n$得，${log_a}\frac{9}{2}=n$
即2log_a3-log_a2=n，-----------②
联立①②解得，${log_a}3=\frac{m+2n}{5}$，${log_a}2=\frac{2m-n}{5}$，
所以，$f（-\frac{5}{7}）={log_a}6={log_a}3+{log_a}2$=$\frac{3m+n}{5}$．

点评 本题主要考查了对数的图象与性质，对数的运算性质，以及子集的概念和集合的运算，属于中档题．