Question

15．2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m²的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m²，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m²，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m²．设AD长为xm，DQ长为ym．
（1）试找出x与y满足的等量关系式；
（2）设总造价为S元，试建立S与x的函数关系；
（3）若总造价S不超过138000元，求AD长x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知，十字形区域面积为矩形DAMQ面积的四倍与正方形MNPQ面积之和，得出4xy+x²=200；
（2）由（1）得y=$\frac{200-{x}^{2}}{4x}$，S=4200x²+210•4xy+80•2y²，即可建立S与x的函数关系．
（3）利用总造价S不超过138000元，建立不等式，即可求AD长x的取值范围．

解答 解：（1）由已知，十字形区域面积为矩形DAMQ面积的四倍与正方形MNPQ面积之和，
得出x与y满足的等量关系式为：4xy+x²=200　　　　　　　　　　　　　　     …..（4分）
（2）由（1）得y=$\frac{200-{x}^{2}}{4x}$　　　　　　　　　　　　　　      …..（6分）
S=4200x²+210•4xy+80•2y²=4000x²+$\frac{400000}{{x}^{2}}$+38000（x＞0）；…..（10分）
（3）由S≤138000，得4000x²+$\frac{400000}{{x}^{2}}$+38000≤138000，…..（12分）
（x²-5）（x²-20）≤0，即$\sqrt{5}$≤x≤2$\sqrt{5}$，…..（15分）
所以AD长x的取值范围是[$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．　　　　　　　　　　  　　…..（16分）

点评 本题考查基本不等式的实际应用，函数的性质．建立正确的函数关系式是前提，准确解不等式是保障．