Question

10．已知函数f（x）=ln（2+x），g（x）=ln（2-x）
（1）求函数y=f（x）-g（x）的定义域；
（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值范围．
（3）判断函数G（x）=f（x）-g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件即可求函数y=f（x）-g（x）的定义域；
（2）根据对数函数的单调性即可求使f（x）≥g（x）成立的x的取值范围．
（3）根据函数奇偶性的定义即可判断函数G（x）=f（x）-g（x）的奇偶性．

解答 解：（1）y=f（x）-g（x）=ln（2+x）-ln（2-x），
要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{2-x＞0}\\{2+x＞0}\end{array}\right.$…（3分），
即$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{x＞-2}\end{array}\right.$，即-2＜x＜2，即函数的定义域为（-2，2）．
（2）若f（x）≥g（x），
则ln（2+x）≥ln（2-x）
由（1）且2+x≥2-x得{x|0≤x＜2}…（6分）
（3）G（x）定义域为{x|-2＜x＜2}有关于原点对称…（7分）
G（-x）=f（-x）-g（-x）=$ln（2-x）-ln（2+x）=ln\frac{2-x}{2+x}=ln{（\frac{2+x}{2-x}）^{-1}}=-ln\frac{2+x}{2-x}=-G（x）$
所以G（x）为奇函数…．（12分）

点评 本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义以及函数单调性的性质是解决本题的关键．