Question

2．（1）已知直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-1$的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点M（2，-1），求直线l的方程；
（2）已知直线l过点P（-2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由斜率求出角的大小吗，由角的大小求出直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程；
（2）显然直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l的方程为y-3=k（x+2），利用三角形的面积求出k的值，问题得以解决．

解答 解：（1）直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-1$的倾斜角为α，
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α=30°，
∴β=2α=60°，
∴tanβ=$\sqrt{3}$，
∵过点M（2，-1），
∴直线l的方程为y+1=$\sqrt{3}$（x-2），即$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}-1=0$
（2）显然直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，
则l的方程为y-3=k（x+2），
当x=0时，y=2k+3，当y=0时，x=-$\frac{3}{k}$-2，
于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}|{（{2k+3}）（{-\frac{3}{k}-2}）}|=4$
即$（{2k+3}）（{\frac{3}{k}+2}）=±8$，解得：$k=-\frac{1}{2}或k=-\frac{9}{2}$
所以直线l的方程为x+2y-4=0或9x+2y+12=0．

点评 本题考查了直线方程的求法，点斜式是常用的方法，属于基础题．