Question

14．设$f（x）=\frac{{a•{2^x}-1}}{{1+{2^x}}}$是R上的奇函数
（1）求实数a的值；
（2）判定f（x）在R上的单调性并证明；
（3）若方程f（x²-2x-a）=0在（0，3）上恒有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在R上为奇函数便可得到f（0）=0，从而可以求出a=1；
（2）分离常数得到$f（x）=1-\frac{2}{1+{2}^{x}}$，可看出f（x）在R上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根据指数函数的单调性证明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在R上单调递增；
（3）可设g（x）=x²-2x-a，可看出g（x）的对称轴为x=1，从而有g（1）≤g（x）＜g（0），或g（1）≤g（x）＜g（3），这样根据f（x）在R上单调递增便有f[g（1）]≤f[g（x）]＜f[g（0）]，或f[g（1）]≤f[g（x）]＜f[g（3）]，而要使方程f（x²-2x-a）=0在（0，3）上恒有解，则需$\left\{\begin{array}{l}{f[g（1）]≤0}\\{f[g（0）]＞0，或f[g（3）]＞0}\end{array}\right.$，这样即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）为R上的奇函数；
∴f（0）=$\frac{a-1}{1+1}=0$；
∴a=1；
（2）$f（x）=\frac{{2}^{x}-1}{1+{2}^{x}}$=$\frac{1+{2}^{x}-2}{1+{2}^{x}}=1-\frac{2}{1+{2}^{x}}$，f（x）在R上单调递增，证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{1+{2}^{{x}_{2}}}-\frac{2}{1+{2}^{{x}_{1}}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（1+{2}^{{x}_{2}}）（1+{2}^{{x}_{1}}）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
又$（1+{2}^{{x}_{2}}）（1+{2}^{{x}_{1}}）＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递增；
（3）设g（x）=x²-2x-a，g（x）的对称轴为x=1，则：g（1）≤g（x）＜g（0），或g（1）≤g（x）＜g（3）；
f（x）在R上单调递增；
∴f[g（1）]≤f[g（x）]＜f[g（0）]，或f[g（1）]≤f[g（x）]＜f[g（3）]；
∵方程f（x²-2x-a）=0在（0，3）上恒有解；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f[g（1）]≤0}\\{f[g（0）]＞0，或f[g（3）]＞0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{2}{1+{2}^{-1-a}}≤0}\\{1-\frac{2}{1+{2}^{-a}}＞0，或1-\frac{2}{1+{2}^{3-a}}＞0}\end{array}\right.$；
解得-1≤a＜3；
∴实数a的取值范围为[-1，3）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，在原点处的函数值为0，分离常数法的运用，增函数的定义，以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，二次函数的对称轴，二次函数的最值，清楚方程的解和函数的零点的关系，要熟悉二次函数的图象．